Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+4x，其中a＞0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（2）若x∈（-2，+∞）時(shí)，恒有f（2x）＞7x+a²-3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=2，轉(zhuǎn)化不等式為|x-2|≥-2x+1，去掉絕對(duì)值求解就．
（2）求出$f（2x）-7x=|2x-a|+x=\left\{{\begin{array}{l}{3x-a（x≥\frac{a}{2}）}\\{a-x（x＜\frac{a}{2}）}\end{array}}\right.$．通過(guò)a＞0，x∈（-2，+∞），求出表達(dá)式的最小值，然后求解a的范圍即可．

解答 （本題滿分10分）
解：（1）a=2時(shí)，f（x）=|x-a|+4x=|x-2|+4X，
由f（x）≥2x+1，
即|x-2|≥-2x+1，可得x-2≥-2x+1或x-2≤2x-1，
解得x≥-1，∴x∈[-1，+∞）（5分）
（2）f（2x）＞7x+a²-3，可化為：f（2x）-7x＞a²-3，
則$f（2x）-7x=|2x-a|+x=\left\{{\begin{array}{l}{3x-a（x≥\frac{a}{2}）}\\{a-x（x＜\frac{a}{2}）}\end{array}}\right.$．
由于a＞0，x∈（-2，+∞），所以當(dāng)$x=\frac{a}{2}$時(shí)，f（2x）-7x有最小值$\frac{a}{2}$．
若使原命題成立，只需$\frac{a}{2}＞{a^2}-3$，解得a∈（0，2）．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的應(yīng)用，函數(shù)恒成立以及絕對(duì)值不等式的解法，考查計(jì)算能力．