Question

16．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)即可得到角A；
（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b²+c²-bc≥2bc-bc，即bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，運(yùn)用三角形的面積公式可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）acosC=（2b-c）cosA，即為
acosC+ccosA=2bcosA，
由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π）
∴sinB≠0
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π）
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b²+c²-bc≥2bc-bc，
∴bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≥$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，S取得最大值，且為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查兩角和差的正弦公式和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．