Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C: 的一個(gè)焦點(diǎn)為為橢圓C上一點(diǎn)，△MOF2的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在平行于OM的直線l，使得l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一般方法為待定系數(shù)法，因?yàn)镃=3，則橢圓C的方程為，又，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4)，或（舍去）橢圓方程為，（2）存在性問題，從假設(shè)存在出發(fā). 假定存在符合題意的直線l與橢圓C相交于，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)，，設(shè)直線l

方程為.由得

，解得，滿足，因此直線l的方程為.

⑴C=3，則橢圓C的方程為

又

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4)

或（舍去）

橢圓方程為 7分

⑵假定存在符合題意的直線l與橢圓C相交于，其方程為.

由，

，且. 11分

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)，

. ，代入.

存在這的直線l，所在直線的方程為. 15分

考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系