Question

14．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）為偶函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a≠0），試根據(jù)實(shí)數(shù)a的取值，討論函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，得到關(guān)于k的方程，解方程可得答案；
（2）利用基本不等式求出真數(shù)的最值，進(jìn)而可得f（x）的最小值點(diǎn)和最小值；
（3）構(gòu)造方程${log_4}（{4^x}+1）-\frac{x}{2}={log_4}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論不同情況下方程根的個(gè)數(shù)，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
故${log_4}（{4^{-x}}+1）+（k-1）x={log_4}（{4^x}+1）-（k-1）x$對所有x∈R都成立，-------------（2分）
即（2k-3）x=0對所有x∈R都成立，
∴$k=\frac{3}{2}$．--------------（5分）
（2）由（1）得$f（x）={log_4}（{4^x}+1）-\frac{x}{2}$，即 $f（x）={log_4}\frac{{{4^x}+1}}{2^x}$．--------------（7分）
又∵${log_4}（{2^x}+\frac{1}{2^x}）≥{log_4}2=\frac{1}{2}$，
故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，-----（10分）
∴f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．--------------（11分）
（3）由方程${log_4}（{4^x}+1）-\frac{x}{2}={log_4}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）$（*）
可變形為$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{4^x}+1}}{2^x}=a•{2^x}-\frac{4}{3}a…①\\ a•{2^x}-\frac{4}{3}a＞0…②\end{array}\right.$，
由②得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{2^x}＞\frac{4}{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\{2^x}＜\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
由①得$a=1+\frac{{4×{2^x}+3}}{{3×{{（{2^x}）}^2}-4×{2^x}}}$，
令4×2^x+3=t，則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ t＞\frac{25}{3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ 3＜t＜\frac{25}{3}\end{array}\right.$
則$a=1+\frac{16t}{{3{t^2}-34t+75}}=1+\frac{16}{{3t+\frac{75}{t}-34}}$．-----（13分）
當(dāng)$t＞\frac{25}{3}$時(shí)，$3t+\frac{75}{t}-34$單調(diào)遞增，
∴$3t+\frac{75}{t}-34＞0$，
∴a＞1，此時(shí)方程（*）有且只有一個(gè)解；-------（15分）
當(dāng)$3＜t＜\frac{25}{3}$時(shí)，$-4≤3t+\frac{75}{t}-34＜0$，$a=1+\frac{16}{{3t+\frac{75}{t}-34}}≤-3$
當(dāng)a=-3時(shí)，方程（*）有且只有一個(gè)解；--------（16分）
當(dāng)a＜-3時(shí)，方程（*）有兩解；
當(dāng)-3＜a＜0，或0＜a≤1時(shí)方程（*）無解．---------------（17分）
綜上所述，當(dāng)a＜-3時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
當(dāng)a=-3或a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)-3＜a＜0或0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象沒有公共點(diǎn)．------------（18分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題運(yùn)算量大，轉(zhuǎn)化困難，屬于中檔偏難度的題目．