Question

20．已知O是正三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，在三角形ABC內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，落在三角形AOC內(nèi)的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$變形為$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$．以$\overrightarrow{OA}$、3$\overrightarrow{OC}$所在的線段OA、OE為鄰邊作平行四邊形OAFE．
設(shè)對角線OF與AC交與點(diǎn)D．利用向量的平行四邊形法則和平行四邊形的性質(zhì)可得$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，△AOC與△ABC的面積的比值=$\frac{1}{3}$．進(jìn)而得出在三角形ABC內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，落在三角形AOC內(nèi)的概率．

解答 解：如圖所示，
由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$變形為$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$．
以$\overrightarrow{OA}$、3$\overrightarrow{OC}$所在的線段OA、OE為鄰邊作平行四邊形OAFE．
設(shè)對角線OF與AC交與點(diǎn)D．
則$\overrightarrow{OF}$=-2$\overrightarrow{OB}$．
∴$\frac{OD}{DF}=\frac{OC}{AF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{2OB-OD}$=$\frac{1}{3}$，化為$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$．
∴△AOC與△ABC的面積的比值=$\frac{1}{3}$．
∴在三角形ABC內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，落在三角形AOC內(nèi)的概率為$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了向量的平行四邊形法則和平行四邊形的性質(zhì)，考查了作輔助線的重要性和技巧，屬于難題．