Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=4a_n-1+2ⁿ，n∈N^*，且n≥2．
（1）求證：數(shù)列{a_n+2ⁿ}為等比數(shù)列；
（2）若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，設(shè)b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，n∈N*，證明：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n=4a_n-1+2ⁿ變形可知a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），進(jìn)而即得結(jié)論；
（2）通過（1）得a_n=4ⁿ-2ⁿ，通過變形可知S_n=$\frac{2}{3}$•（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1），裂項可知b_n=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），進(jìn)而并項相加、放縮即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵a_n=4a_n-1+2ⁿ，
∴a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），
又∵a₁+2¹=2+2=4，
∴數(shù)列{a_n+2ⁿ}是首項、公比均為4的等比數(shù)列；
（2）由（1）得：a_n+2ⁿ=4ⁿ，∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-2ⁿ）-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{3}$•（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ⁺¹-2）
=$\frac{2}{3}$•（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1），
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$
=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n}-1）}$
=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．