Question

20．如果對任意一個三角形，只要它的三邊a，b，c都在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“和美型函數(shù)”．現(xiàn)有下列函數(shù)：①f（x）=$\sqrt{x}$；  ②g（x）=sinx，x∈（0，π）；  ③φ（x）=2^x；④h（x）=lnx，x∈[2，+∞）．其中是“和美型函數(shù)”的函數(shù)序號為①④．（寫出所有正確的序號）

Answer 1

分析 ①由0＜a≤b≤c，且a+b＞c，判斷$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$成立即可；
②舉例說明y=sinx不是“和美型函數(shù)”；
③舉例說明y=2^x不是“和美型函數(shù)”；
④由2≤a≤b＜c，說明lna+lnb＞lnc成立即可．

解答 解：對于①，設(shè)0＜a≤b≤c，且a+b＞c，欲證明$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$，
只需證明a+b+2$\sqrt{ab}$＞c，即2$\sqrt{ab}$＞0成立；∴①是“和美型函數(shù)”；
對于②，取a=$\frac{π}{2}$，b=$\frac{5π}{6}$，c=$\frac{5π}{6}$，而sinb+sinc=sina，∴②不是“和美型函數(shù)”；
對于③，取a=2，b=2，c=3，則2²+2²=2³，∴以2²、2²、2³為三邊不能構(gòu)成三角形，
③不是“和美型函數(shù)”；
對于④，設(shè)2≤a≤b＜c，此時只需證lna+lnb＞lnc，即證lnab＞lnc，即證ab＞c，
由①知a+b＞c，而ab-（a+b）=ab-a-b+1-1=（a-1）（b-1）-1≥0，即ab≥a+b＞c，
∴l(xiāng)na+lnb＞lnc成立，即h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“和美型函數(shù)”．
綜上，是“和美型函數(shù)”的函數(shù)序號為①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了綜合分析問題與解決問題的能力，是綜合性題目．