Question

17．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)$（0，\sqrt{2}）$，且離心率e為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線x=my-1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G$（-\frac{9}{4}，0）$與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 解法一：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出橢圓E的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為H（x₀，y₀）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m²+2）y²-2my-3=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y₀=$\frac{m}{{m}^{2}+2}$．|GH|²=$（{x}_{0}+\frac{9}{4}）^{2}+{y}_{0}^{2}$．$\frac{|AB{|}^{2}}{4}$=$\frac{（{m}^{2}+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}{4}$，作差|GH|²-$\frac{|AB{|}^{2}}{4}$即可判斷出．
解法二：（1）同解法一．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{GA}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{GB}$=$（{x}_{2}+\frac{9}{4}，{y}_{2}）$．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m²+2）y²-2my-3=0，計(jì)算$\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{GB}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}）（{x}_{2}+\frac{9}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$即可得出∠AGB，進(jìn)而判斷出位置關(guān)系．

解答 解法一：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=c=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為H（x₀，y₀）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為（m²+2）y²-2my-3=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+2}$，∴y₀=$\frac{m}{{m}^{2}+2}$．
G$（-\frac{9}{4}，0）$，
∴|GH|²=$（{x}_{0}+\frac{9}{4}）^{2}+{y}_{0}^{2}$=$（m{y}_{0}+\frac{5}{4}）^{2}$+${y}_{0}^{2}$=$（{m}^{2}+1）{y}_{0}^{2}$+$\frac{5}{2}m{y}_{0}$+$\frac{25}{16}$．
$\frac{|AB{|}^{2}}{4}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}{4}$=$\frac{（{m}^{2}+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}{4}$=$（{m}^{2}+1）（{y}_{0}^{2}-{y}_{1}{y}_{2}）$，
故|GH|²-$\frac{|AB{|}^{2}}{4}$=$\frac{5}{2}m{y}_{0}+（{m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{5{m}^{2}}{2（{m}^{2}+2）}$-$\frac{3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{17{m}^{2}+2}{16（{m}^{2}+2）}$＞0．
∴$|GH|＞\frac{|AB|}{2}$，故G在以AB為直徑的圓外．
解法二：（1）同解法一．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{GA}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{GB}$=$（{x}_{2}+\frac{9}{4}，{y}_{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為（m²+2）y²-2my-3=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+2}$，

從而$\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{GB}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}）（{x}_{2}+\frac{9}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$
=$（m{y}_{1}+\frac{5}{4}）（m{y}_{2}+\frac{5}{4}）$+y₁y₂
=$（{m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}+\frac{5}{4}m（{y}_{1}+{y}_{2}）$+$\frac{25}{16}$
=$\frac{5{m}^{2}}{2（{m}^{2}+2）}$-$\frac{3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{17{m}^{2}+2}{16（{m}^{2}+2）}$＞0．
∴$\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{GB}$＞0，又$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共線，
∴∠AGB為銳角．
故點(diǎn)G$（-\frac{9}{4}，0）$在以AB為直徑的圓外．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．