Question

11．已知函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）+1
（1）求y取最值時的x的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）寫出它的圖象可以怎樣由正弦函數(shù)的圖象變換得出．

Answer 1

分析 （1）由3x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，和 3x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的值，即為所求． 
（2）由 2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即得函數(shù)的增區(qū)間；由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即得函數(shù)的減區(qū)間．
（3）先將y=sinx上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，再將所得圖象向左平移$\frac{π}{18}$個單位，然后將所得圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，再把所得圖象向上平移一個單位，即可得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象．

解答 解：（1）當3x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），即x=$\frac{π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ時，y_max=$\frac{3}{2}$；
當3x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），即x=-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ時，y_min=$\frac{1}{2}$．…（12分）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ，$\frac{π}{9}$+$\frac{2}{3}$kπ]，k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，可解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{9}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{4}{9}$π]，k∈Z．
（3）先將正弦曲線上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$（縱坐標不變），得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$sin3x 的圖象．
再將所得圖象向左平移$\frac{π}{18}$個單位，然后將所得圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$（橫坐標不變），
得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）的圖象．最后將所得圖象向上平移一個單位，即可得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值的方法，屬于中檔題．