Question

1．已知函數(shù)f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=2^x．
（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），試比較$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$與f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對稱性進(jìn)行求解即可．
（2）代入，利用基本不等式進(jìn)行比較．

解答 解：（1）若x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=2^x，
∴當(dāng)-x＞0時，f（-x）=2^-x，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=2^-x=-f（x），
則f（x）=-2^-x，x＜0；
（2）對任意的x₁，x₂∈（-∞，0），$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=-$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$≤-${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．