Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=2，S_n-4S_n-1-2=0（n≥2，n∈Z）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{k}}$＜2．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥3時(shí)，可得S_n-4S_n-1-2-（S_n-1-4S_n-2-2）=0（n≥2，n∈Z）．∴a_n=4a_n-1，
又因?yàn)閍₁=2，代入表達(dá)式可得a₂=8，滿足上式．
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=2，公比為4的等比數(shù)列，故：a_n=2×4^n-1=2^2n-1．
（Ⅱ）證明：b_n=log₂a_n=2n-1．
T_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
n≥2時(shí)，$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{k}}$≤1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．