Question

19．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x-1|，當(dāng)x∈R時，f（x）+g（x）≥2a²-13，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=3時，不等式即|2x-3|+3≤6，可得-3≤2x-3≤3，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由題意可得|2x-a|+a+|2x-1|≥2a²-13恒成立，利用絕對值三角不等式求得|2x-a|+a+|2x-1|的最小值為|1-a|+a，可得|1-a|+a≥2a²-13，分類討論，去掉絕對值，求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，不等式f（x）≤6，即|2x-3|+3≤6，
故有-3≤2x-3≤3，求得 0≤x≤3，即不等式f（x）≤6的解集為[0，3]． 
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥2a²-13，即|2x-a|+a+|2x-1|≥2a²-13恒成立，
∵|2x-a|+a+|2x-1|≥|2x-a-（2x-1）|+a=|1-a|+a，
∴|1-a|+a≥2a²-13①．
當(dāng)a≤1時，①等價于1-a+a≥2a²-13，解得-$\sqrt{7}$≤a≤1；
當(dāng)a＞1時，①等價于a-1+a≥2a²-13，即a²-a-6≤0，解得1＜a≤3，
所以a的取值范圍是[-$\sqrt{7}$，3]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．