Question

16．求下列函數(shù)的最值與值域：
（1）y=4-$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$；
（2）y=2x-$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=x+$\frac{4}{x}$；
（4）y=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$．

Answer 1

分析 （1），（2），（4）是復(fù)合函數(shù)，需要先找出基本函數(shù)：二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，再?gòu)?fù)合，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域．（3）利用公式法可直接求解．

解答 解：（1）令t=3+2x-x²
=-（x²-2x）+3
=-（x-1）²+4
∴t≤4
∴0≤$\sqrt{t}$≤2
∴2≤y≤4
故函數(shù)最小值為2，最大值為4，值域?yàn)閇2，4]．
（2）∵1-2x≥0
∴x$≤\frac{1}{2}$
y=2x-$\sqrt{1-2x}$
=-（$\sqrt{1-2x}$-2x）
=-（$\sqrt{1-2x}$+1-2x）+1
令t=$\sqrt{1-2x}$，t≥0
∴y=-（t²+t）+1
=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$
當(dāng)t≥0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．
∴y≤1，
故函數(shù)最大值為1，值域?yàn)椋?∞，1]．
（3）函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，∞）
當(dāng)x＞0時(shí)
y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4
當(dāng)x＜0時(shí)
y=x+$\frac{4}{x}$
=-（-x-$\frac{4}{x}$）
≤-4
故函數(shù)的值域?yàn)閇4，∞）∪（-∞，-4]，無(wú)最值．
（4）y=$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$
令t=3x，t＞0
y=$\frac{t}{t+1}$
=$\frac{t+1-1}{t+1}$
=1-$\frac{1}{t+1}$
∵t＞0
∴0＜$\frac{1}{t+1}$＜1
∴0＜y＜1
故函數(shù)的值域?yàn)椋?，1），無(wú)最值．

點(diǎn)評(píng) 復(fù)合函數(shù)的求法問(wèn)題，我們可以利用換元的方法，把復(fù)合問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，進(jìn)而求解．