Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx-ax（0＜x＜π，常數(shù)a∈R），且f（x）同時(shí)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）記f（x）的極大值為M，設(shè)實(shí)數(shù)b，若?λ∈[b+1，b+e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）且?μ∈[b+1，b+e]，使得λ+ln（λ-b）＜M＜μ+ln（μ-b），求實(shí)數(shù)b的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，f（x）同時(shí)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)?f′（x）=0在（0，π）內(nèi)有兩根，分別畫(huà)出y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）和y=a的圖象，由圖象可知a的范圍；
（2）由f'（x）=0求得x₁，x₂，求出函數(shù)f（x）的極大值為M，根據(jù)?μ∈[b+1，b+e]，使得λ+ln（λ-b）＜M＜μ+ln（μ-b），構(gòu)造g（x）=x+ln（x-b），x∈[b+1，b+e]，利用導(dǎo)數(shù)求出M的范圍，經(jīng)過(guò)計(jì)算比較得到b的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=sinx-cosx-ax，
∴f′（x）=cosx+sinx-a=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）-a，
f（x）同時(shí)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)?f′（x）=0在（0，π）內(nèi)有兩根，①
分別畫(huà)出y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）和y=a的圖象，如圖所示，
由圖象可知a的取值范圍（1，$\sqrt{2}$）
（2）由f'（x）=0得
x₁=arcsin（$\frac{a}{\sqrt{2}}$）-$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{3π}{4}$-arcsin（$\frac{a}{\sqrt{2}}$），
∵f（x）=-$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）-ax，x₁∈（0，$\frac{π}{4}$），x₂∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
a→1時(shí)x₁→0，x₂→$\frac{π}{2}$，f（x₁）→-1，f（x₂）→1-$\frac{π}{2}$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴M=f（x₂）=$\sqrt{2-{a}^{2}}$-a（$\frac{3π}{4}$-arcsin$\frac{a}{\sqrt{2}}$），
M（1）=1-$\frac{π}{2}$，M（$\sqrt{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$，
設(shè)實(shí)數(shù)b，若存在λ，μ∈[b+1，b+e]使得λ+ln（λ-b）＜M＜μ+ln（μ-b），②
設(shè)g（x）=x+ln（x-b），x∈[b+1，b+e]，
則g'（x）=1+$\frac{1}{x-b}$＞0，g（x）是增函數(shù)，
由②得b+1＜M＜b+e+1，
∴b+1≤1-$\frac{π}{2}$≤b+e+1，且b+1≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$≤b+e+1，
∴-$\frac{π}{2}$-e≤b≤-$\frac{π}{2}$，且-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-e-1≤b≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-1，
∴-$\frac{π}{2}$-e≤b≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-1，
∴實(shí)數(shù)b的最大值為-$\frac{\sqrt{2}}{4}π$-1，最小值為-$\frac{π}{2}$-e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值和最值的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于難題．