Question

10．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為棱BC的中點，AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB=A₁B=1，BB₁=$\sqrt{2}$．求證：
（1）A₁B⊥平面ABC；
（2）A₁B∥平面AC₁D．

Answer 1

分析 （1）欲證明A₁B⊥平面ABC，只需證得A₁B垂直于平面ABC內(nèi)的兩條相交線即可；
（2）連接A₁C交AC₁與點E，連接DE，構(gòu)建三角形的中位線，利用三角形中位線定理推知DE∥A₁B，則根據(jù)“如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”證得結(jié)論．

解答 證明：（1）因為AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B，AB、BB₁?平面ABB₁，
所以BC⊥平面ABB₁，
又AB₁?平面ABB₁，
所以AB₁⊥BC； 
又因為$AB={A_1}B=1，B{B_1}=\sqrt{2}=A{A_1}$，得
$A{A_1}^2=A{B^2}+{A_1}{B^2}$，
所以A₁B⊥AB．
又AB、BC?平面ABC，AB∩BC=B，所以A₁B⊥平面ABC；
（2）連接A₁C交AC₁與點E，連接DE，在△A₁BC中，D、E分別為BC、A₁C的中點，
所以DE∥A₁B，
又A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．

點評 本題考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定．熟練掌握線面面面平行于垂直的判定定理及其性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、三角形的中位線定理等是解題的關(guān)鍵．