Question

1．已知橢圓C方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），M（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，F(xiàn)（c，0）是橢圓的右焦點．
（1）若橢圓的離心率為e，證明|MF|=a-ex₀；
（2）已知不過焦點F的直線l與圓x²+y²=b²相切于點Q，并與橢圓C交于A，B兩點，且A，B兩點都在y軸的右側(cè)，若a=2，求△ABF的周長．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的第二定義，即可得出結(jié)論；
（2）證明|AQ|=ex₁，|BQ|=ex₂，即可求出△ABF的周長．

解答 （1）證明：∵M(jìn)（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點，橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$\frac{|MF|}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{0}}$=e
∴|MF|=a-ex₀；-----------------（6分）
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₁＞0，x₂＞0），
連接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|²=x₁²+y₁²-b²，
∵y₁²=b²-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x₁²，
∴|AQ|²=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x₁²=e²x₁²；
∴|AQ|=ex₁，
同理：|BQ|=ex₂，------------------（10分）
∴|AB|=|AQ|+|BQ|=e（x₁+x₂）
∴|AB|+|AF|+|BF|=e（x₁+x₂）+a-ex₁+a-ex₂=2a
∴a=2時，△ABF的周長為4．------------------（13分）

點評 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．