Question

19．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD．求證：A₁D⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

分析 證明AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，通過AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，即可證明A₁D⊥平面ABC₁D₁．

解答 證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．…（4分）
∵AD=AA₁，
∴四邊形AA₁D₁D為正方形．…（6分）
∴AD₁⊥A₁D．…（8分）
∵AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．…（10分）

點評 本小題主要考查空間線面位置關(guān)系，幾何體體積等基本知識，考查空間想象能力和推理論證能力，注意判定定理的應(yīng)用．