Question

2．已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=2，f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，則f（1）×f（2）×f（3）×…×f（2011）=3．

Answer 1

分析 由已知中f（x）滿(mǎn)足f（1）=2，f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，易判斷函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)：f（1）•f（2）•f（3）•f（4）=1，得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=2，f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
∴f（2）=$\frac{1+f（1）}{1-f（1）}$=-3，
f（3）=$\frac{1+f（2）}{1-f（2）}$=-$\frac{1}{2}$，
f（4）=$\frac{1+f（3）}{1-f（3）}$=$\frac{1}{3}$，
f（5）=$\frac{1+f（4）}{1-f（4）}$=2，
…
故函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
在一個(gè)周期內(nèi)：f（1）•f（2）•f（3）•f（4）=1，
又∵2011÷4=502…3，
∴f（1）•f（2）•f（3）…f（2011）=f（1）•f（2）•f（3）=3，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值，函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知分析出函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，是解答的關(guān)鍵．