Question

1．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c若2acosB=c，則2cos²$\frac{A}{2}$+sinB-1的取值范圍是 （　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． [1，$\sqrt{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$]
• D． （-1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosB，代入已知的等式化簡，可得出a=b，根據(jù)等邊對等角可得A=B，然后把所求式子的第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，再由B為三角形的內(nèi)角，得出B的范圍，進而得到這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質得到此時正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的取值范圍．

解答 解：由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
代入2acosB=c得：a²+c²-b²=c²，即a²=b²，
可得：a=b，即A=B，
2cos2$\frac{A}{2}$+sinB-1=cosA+sinB=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵2acosB=c，即cosB=$\frac{c}{2a}$＞0，
∴B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
即2cos²$\frac{A}{2}$+sinB-1的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]，
故選：B．

點評 本題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．