Question

4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為ax+by+c=0，$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$．給出下列5個(gè)命題：
①存在實(shí)數(shù)λ，使點(diǎn)N在直線l上；
②若λ=1，則過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l平行；
③若λ=-1，則直線l經(jīng)過(guò)線段MN的中點(diǎn)；
④若λ＞1，則點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)；
⑤若0＜λ＜1，則點(diǎn)M，N在直線l的異側(cè)．
其中正確的命題是②③④（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①．由$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$可得：（ax₂+by₂+c≠0），即可判斷出點(diǎn)N（x₂，y₂）與直線l的關(guān)系．
②．λ=1，則a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，即過(guò)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l的斜率的關(guān)系，又點(diǎn)N（x₂，y₂）不在直線l上，即可判斷出兩條直線位置關(guān)系；
③．λ=-1，ax₁+by₁+c+（ax₂+by₂+c）=0，化為$a•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$b•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，即可判斷出正誤；
④．由（ax₁+by₁+c）（λ（ax₂+by₂+c）＞0，即可判斷出點(diǎn)M，N與直線l的位置關(guān)系；
⑤．同④可知：點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)．

解答 解：對(duì)于①，$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$化為：ax₁+by₁+c-λ（ax₂+by₂+c）=0（ax₂+by₂+c≠0），即點(diǎn)N（x₂，y₂）不在直線l上，因此①不正確．
對(duì)于②，λ=1，則a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，即過(guò)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l的斜率相等，又點(diǎn)N（x₂，y₂）不在直線l上，因此兩條直線平行，正確；
對(duì)于③，λ=-1，則ax₁+by₁+c+（ax₂+by₂+c）=0，化為$a•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$b•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，因此直線l經(jīng)過(guò)線段MN的中點(diǎn)，正確；
對(duì)于④，λ＞1，則（ax₁+by₁+c）（λ（ax₂+by₂+c）＞0，則點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)，正確；
對(duì)于⑤，若0＜λ＜1，同④可知：點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)，因此不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．