Question

14．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，若其漸近線與拋物線y²=4x的準線圍成的三角形面積為1，則此雙曲線的離心率等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線y²=4x，可得準線方程為x=-1．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）可得兩條漸近線方程分別為y=±$\frac{a}$x．利用漸近線與拋物線y²=4x的準線圍成的三角形面積為1，可得$\frac{1}{2}×1×\frac{2b}{a}$=1，即可得出雙曲線的離心率．

解答 解：由拋物線y²=4x，可得準線方程為x=-1．
由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）可得兩條漸近線方程分別為y=±$\frac{a}$x．
x=-1時，y=±$\frac{a}$，
∵漸近線與拋物線y²=4x的準線圍成的三角形面積為1，
∴$\frac{1}{2}×1×\frac{2b}{a}$=1，
∴$\frac{a}$=1
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了雙曲線與拋物線的標準方程及其性質、三角形的面積計算公式，屬于基礎題．