Question

9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若-1，S₅，S₁₀成等差數(shù)列，則S₁₀-2S₅=1，S₁₅-S₁₀的最小值為4．

Answer 1

分析 由題意和等差數(shù)列易得第一問；再根據(jù)S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀為等比數(shù)列，可得S₁₅-S₁₀為S₅的式子，由基本不等式可得第二問．

解答 解：∵-1，S₅，S₁₀成等差數(shù)列，
∴2S₅=S₁₀-1，∴S₁₀-2S₅=1，
又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀為等比數(shù)列，
∴S₅（S₁₅-S₁₀）=（S₁₀-S₅）²，
∴S₁₅-S₁₀=$\frac{（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$=$\frac{（1+2{S}_{5}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$
=S₅+$\frac{1}{{S}_{5}}$+2≥2$\sqrt{{S}_{5}•\frac{1}{{S}_{5}}}$+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)S₅=$\frac{1}{{S}_{5}}$即S₅=1時取等號，
∴S₁₅-S₁₀的最小值為4，
故答案為：1；4．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的求和公式的性質(zhì)，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．