Question

10．已知${S_n}=\sum_{i=1}^ni$，則$f（n）=\frac{S_n}{{（n+32）{S_{n+1}}}}$的最大值為$\frac{1}{50}$．

Answer 1

分析 通過求和公式可知${S_n}=\sum_{i=1}^ni$=$\frac{n（n+1）}{2}$，進(jìn)而化簡可知$f（n）=\frac{S_n}{{（n+32）{S_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n+\frac{64}{n}+34}$，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵${S_n}=\sum_{i=1}^ni$=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$f（n）=\frac{S_n}{{（n+32）{S_{n+1}}}}$
=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{（n+32）•\frac{（n+1）（n+2）}{2}}$
=$\frac{n}{{n}^{2}+34n+64}$
=$\frac{1}{n+\frac{64}{n}+34}$，
∵n+$\frac{64}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{64}{n}}$=16（當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{64}{n}$即n=8時(shí)取等號(hào)），
∴$\frac{1}{n+\frac{64}{n}+34}$≤$\frac{1}{16+34}$=$\frac{1}{50}$，
即f（n）≤$\frac{1}{50}$，
故答案為：$\frac{1}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．