Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上的最值．

Answer 1

分析 （1）直接將a=-1代入函數(shù)解析式，求出最大最小值，（2）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，對(duì)稱軸x=1，
在[-5，5]上，最大值為f（-5）=37，最小值為f（1）=1；
（2）函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸是：x=-a，
①當(dāng)-a≤-5，即a≥5時(shí)，f（x）在[-5，5]遞增，
f（x）_最小值=f（-5）=-10a+27，f（x）_最大值=f（5）=10a+27；
②當(dāng)-5＜-a≤0，即0≤a＜5時(shí)，
f（x）在[-5，-a）遞減，在（-a，5]遞增，
f（x）_最小值=f（-a）=-a²+2，f（x）_最大值=f（5）=10a+27；
③當(dāng)0＜-a≤5，即-5≤a＜0時(shí)，
f（x）在[-5，-a）遞減，在（-a，5]遞增，
f（x）_最小值=f（-a）=-a²+2，f（x）_最大值=f（-5）=-10a+27；
④-a≥5，即a≤-5時(shí)，f（x）在[-5，5]遞減，
f（x）_最小值=f（5）=10a+27，f（x）_最大值=f（-5）=-10a+27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．