Question

4．若復(fù)數(shù)z₁滿足（z₁-z）（1+i）=1-i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z₂的虛部為2，z₁•z₂是實數(shù)．
（1）求z₂
（2）若|z|=1，求|z-z₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由（z₁-2）（1+i）=1-i，解得z₁=2-i，設(shè)z₂=a+2i，a∈R，則z₁z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i，由z₁•z₂∈R，能求出z₂；
（2）利用復(fù)數(shù)模的幾何意義數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）∵（z₁-2）（1+i）=1-i，
∴z₁-2=$\frac{1-i}{1+i}=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2i}{2}=-i$，
∴z₁=2-i，
設(shè)z₂=a+2i，a∈R，
則z₁z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i，
∵z₁•z₂∈R，
∴a=4，
∴z₂=4+2i；
（2）∵|z|=1，如圖，

∴|z-z₂|的最小值為$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}-1=2\sqrt{5}-1$．

點評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．