Question

12．在△ABC中，AB=3AC=3，AD是∠A的內(nèi)角平分線，交BC于點D，$\frac{BD}{DC}$=3且AD=m，則實數(shù)m的取值范圍（0，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 設出AC，利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可知，BD=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{1}{4}$BC，通過余弦定理求出cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2m}{3}$，結(jié)合A的范圍通過三角函數(shù)的有界性，求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設AC=1，則AB=3，由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可知，BD=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{1}{4}$BC，
在△ACD中，由余弦定理可得：（$\frac{3}{4}$BC）2=9+m2-2×3mcos$\frac{A}{2}$，
在△ABD中，由余弦定理可得：（$\frac{1}{4}$BC）2=1+m2-2×mcos$\frac{A}{2}$，
消去BC并化簡得：cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2m}{3}$，
∵0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∴cos$\frac{A}{2}$∈（0，1），
∴0＜$\frac{2m}{3}$＜1，
解得m∈（0，$\frac{3}{2}$）．
實數(shù)m的取值范圍是：（0，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查角的平分線的性質(zhì)的應用，余弦定理的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基本知識的考查．