Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}$+tanθ，則f′（1）取值范圍[-2，2]．

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再代入值，根據(jù)三角函數(shù)的和差公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}$+tanθ，
∴f′（x）=x²sinθ+$\sqrt{3}$xcosθ，
∴f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-2≤f′（1）≤2，
故f′（1）取值范圍為[-2，2]．
故答案為：[-2，2]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和三角形函數(shù)的和差公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．