Question

14．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析，決定從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析．
（Ⅰ）如果按性別比例分層抽樣，求樣本中男生、女生人數(shù)分別是多少；
（Ⅱ）隨機(jī)抽取8位同學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)由低到高依次為：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成績(jī)由低到高依次為：72，77，80，84，88，90，93，95，若規(guī)定90分（含90分）以上為優(yōu)秀，記ξ為這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用分層抽樣的性質(zhì)能求出按性別比例分層抽樣抽取女生數(shù)和男生數(shù)．
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析，
按性別比例分層抽樣抽取女生數(shù)為：$\frac{25}{25+15}×8$=5人，
男生數(shù)為：$\frac{15}{40}×8=3$人．…4分
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2…5分，
$P（ξ=0）=\frac{A_5^2A_6^6}{A_8^8}=\frac{20}{56}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_2^1C_3^1C_5^1A_6^6}{A_8^8}=\frac{30}{56}$，
$P（ξ=2）=\frac{A_3^2A_6^6}{A_8^8}=\frac{6}{56}$…8分
ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	$\frac{20}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{6}{56}$

$Eξ=0×\frac{20}{56}+1×\frac{30}{56}+2×\frac{6}{56}=\frac{3}{4}$…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．