Question

19．在△ABC中，$tanC=\frac{4}{3}$，$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，H在BC邊上，則過點B以A、H為兩焦點的雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由△ABC中tanC=$\frac{4}{3}$，根據(jù)向量垂直的數(shù)量積為0，易得△ABC是等腰三角形，AH為腰上高，
由此設出各邊的長度，然后根據(jù)雙曲線的性質及雙曲線離心率的定義，即可求出答案．

解答 解：如圖所示；
△ABC中，$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}=0$，
∴AH為BC邊上的高；
又$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，
∴CA=CB；
又tanC=$\frac{4}{3}$，令AH=4X，則CH=3X，
AC=CB=5X，BH=2X，
∴AB=$\sqrt{{（4X）}^{2}{+（2X）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$X；
∴過點B以A、H為兩焦點的雙曲線中
2a=BA-BH=2（$\sqrt{5}$-1）X，
2c=AH=4X；
∴過點B以A、H為兩焦點的雙曲線的離心率為
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4X}{2（\sqrt{5}-1）X}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質，根據(jù)已知求出滿足條件的△ABC形狀進而求出各邊長是解答本題的關鍵．