Question

9．已知四棱錐P-ABCD的外接球?yàn)榍騉，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，則球O的表面積為$\frac{64}{3}π$．

Answer 1

分析 設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R²=d²+（$\sqrt{5}$）²=2²+（$\sqrt{3}$-d）²，求出R，即可求出四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=$\sqrt{3}$，
設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，
設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R²=d²+（$\sqrt{5}$）²=2²+（$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，R²=$\frac{16}{3}$，
球O的表面積為s=$4π{R}^{2}=\frac{64}{3}π$．
故答案為：$\frac{64}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐P-ABCD的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．