Question

11．（1）求曲線y=ln（2x-1）上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離．
（2）設(shè)命題P：復(fù)數(shù)z=（$\frac{1-i}{1+i}$）²-a（1-2i）+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；命題q：不等式|a-1|≥sinx對(duì)于x∈R恒成立；如果“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=ln（2x-1）的斜率是2的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)到直線的距離公式得答案；
（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部小于0且虛部大于0求出a的范圍，再由不等式|a-1|≥sinx對(duì)于x∈R恒成立求出a的范圍，然后由p與q一真一假取交集求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵直線2x-y+3=0的斜率為2，
∴令y′=$\frac{2}{2x-1}=2$，解得：x=1，
把x=1代入曲線方程得：y=0，即曲線上過(guò)（1，0）的切線斜率為2，
則（1，0）到直線2x-y+3=0的距離d=$\frac{|2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}=\sqrt{5}$，
即曲線y=ln（2x-1）上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是$\sqrt{5}$；
（2）z=（$\frac{1-i}{1+i}$）²-a（1-2i）+i
=$（\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}）^{2}-a+2ai+i=（-i）^{2}-a+2ai+i$=-1-a+（2a+1）i．
復(fù)數(shù)z=（$\frac{1-i}{1+i}$）²-a（1-2i）+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則$\left\{\begin{array}{l}{-1-a＜0}\\{2a+1＞0}\end{array}\right.$，即$a＞-\frac{1}{2}$．
∴命題P：$a＞-\frac{1}{2}$；
不等式|a-1|≥sinx對(duì)于x∈R恒成立，即|a-1|≥1恒成立，解得a≤0或a≥2．
如果“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則p與q一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)，0＜a＜2；當(dāng)p假q真時(shí)，$a≤-\frac{1}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{2}]∪（0，2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合命題的真假判斷，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)去線上某點(diǎn)處的曲線方程，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．