Question

11．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若a₁=1且a_n=2S_n-1（n≥2）．
（1）求證{S_n}是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）把a_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入a_n=2S_n-1（n≥2），整理得到$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}=3$，又S₁=a₁≠0，可得數(shù)列{S_n}是以S₁=a₁=1為首項，以3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）求出S_n，結(jié)合a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 （1）證明：∵a_n=2S_n-1（n≥2），∴S_n-S_n-1=2S_n-1，則$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}=3$，
又S₁=a₁≠0，∴數(shù)列{S_n}是以S₁=a₁=1為首項，以3為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知${S}_{n}={3}^{n-1}$，故當(dāng)n≥2時，${a}_{n}=2{S}_{n-1}=2•{3}^{n-2}$．
∵當(dāng)n=1時，a₁=1不適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了由數(shù)列的前n項和求通項公式，是中檔題．