Question

15．如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）若PA=AD，求證：平面MND⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）可由條件得到AB，AD，AP三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，然后設AB=2a，AD=2b，AP=2c，這樣便可求出圖形上各點的坐標，從而可以得出向量$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AB}$的坐標，求出$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AB}=0$便得到MN⊥AB；
（2）PA=AD時，由（1）便知b=c，將（1）中各點坐標中的c都換上b，從而可以求出向量$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{MD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的坐標，可設平面MND的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，從而由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DN}=0}\end{array}\right.$便可求出向量$\overrightarrow{m}$的坐標，同理求出向量$\overrightarrow{n}$的坐標，然后證明$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，便得出$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，從而證出平面MND⊥平面PDC．

解答 證明：（1）根據條件知AB，AD，AP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設AB=2a，AD=2b，AP=2c，則：

A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c），M（a，0，0），N（a，b，c）；
∴$\overrightarrow{AB}=（2a，0，0），\overrightarrow{MN}=（0，b，c）$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}=0$；
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{MN}$；
即MN⊥AB；
（2）若PA=AD，則b=c，則D（0，2b，0），M（a，0，0），N（a，b，b），C（2a，2b，0），P（0，0，2b）；
∴$\overrightarrow{MN}=（0，b，b），\overrightarrow{MD}=（-a，2b，0）$，$\overrightarrow{DC}=（2a，0，0），\overrightarrow{DP}=（0，-2b，2b）$；
設平面MND的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=b（{y}_{1}+{z}_{1}）=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MD}=-a{x}_{1}+2b{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=-{z}_{1}}\\{{x}_{1}=-\frac{2b}{a}{z}_{1}}\end{array}\right.$；
取z₁=1，則$\overrightarrow{m}=（-\frac{2b}{a}，-1，1）$；
同理設平面PDC的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2a{x}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2b（{y}_{2}-{z}_{2}）=0}\end{array}\right.$，取z₂=1得：$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-1+1=0$；
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
∴平面MND⊥平面PDC．

點評 考查通過建立空間坐標系，利用空間向量解決立體幾何問題的方法，能求空間點的坐標，由點的坐標可求空間向量的坐標，向量垂直的充要條件，以及平面法向量的概念及求法，清楚兩平面垂直時法向量的關系．