Question

9．若關于x的不等式x²+|x+a|＜2至少有一個正數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{9}{4}$，2）．

Answer 1

分析 先將不等式寫成：|x+a|＜2-x²，再構造兩函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=2-x²，最后運用函數(shù)的圖象和性質解不等式．

解答 解：不等式可寫成：|x+a|＜2-x²，（*）
根據(jù)題意，不等式（*）至少有一個正數(shù)解，
即至少存在一個正數(shù)x₀使得：|x₀+a|＜2-x₀²，
記f（x）=|x+a|，g（x）=2-x²，畫出兩函數(shù)的圖象，
①當f（x）的頂點（-a，0）（a＜0）在x軸右側時，
兩函數(shù)圖象在右側相切是臨界，如圖（藍線）：
此時，-（x+a）=2-x²，即x²-x-a-2=0，
由△=0，解得a=-$\frac{9}{4}$，
所以，要使不等式（*）至少有一個正數(shù)解，則a＞-$\frac{9}{4}$，
②當f（x）圖象的頂點（-a，0）（a＞0）在x軸左側時，
函數(shù)g（x）的圖象過點（0，2）也是臨界，如圖（紅線），
此時，a=2，要使原不等式有正數(shù)解，則a＜2，
綜合以上討論得，實數(shù)a的取值范圍為：（-$\frac{9}{4}$，2），
故答案為：（-$\frac{9}{4}$，2）．

點評 本題主要考查了含絕對值不等式的解法，以及函數(shù)圖象與性質的綜合應用，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形解的解題思想，屬于中檔題．