Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由題意可得即 f（x）的圖象和直線y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的交點，數(shù)形結(jié)合可得k的范圍．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，
k∈Z．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的零點，
即 f（x）的圖象和直線y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的交點．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得 2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
結(jié)合圖象可得1≤k＜$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象特征，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．