Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P（2，1），且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點P作橢圓兩條互相垂直的弦PA，PB分別與橢圓交于點A，B，問：直線AB是否經(jīng)過定點T？若經(jīng)過，求出點T的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形，可得b=c，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{b=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²+4mkx+2m²-6=0．由于PA⊥PB，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，化為（1+k²）x₁x₂+（mk-k-2）（x₁+x₂）+（m-1）²+4=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入化為4k²+8mk+3m²-2m-1=0，解出即可得出．

解答 解：（1）∵兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形，∴b=c，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{b=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=6，b=c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²+4mkx+2m²-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-4mk}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$．
∵PA⊥PB，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=0，
化為（1+k²）x₁x₂+（mk-k-2）（x₁+x₂）+（m-1）²+4=0，
∴$\frac{（2{m}^{2}-6）（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{（mk-k-2）×（-4mk）}{1+2{k}^{2}}$+（m-1）²+4=0，
化為4k²+8mk+3m²-2m-1=0，
解得m=1-2k或m=$\frac{-1-2k}{3}$，
∴直線方程為：y=k（x-2）+1，或y=$k（x-\frac{2}{3}）-\frac{1}{3}$．
直線AB過定點T$（\frac{2}{3}，-\frac{1}{3}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積運算性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．