Question

9．已知a_n+1=a_n²-na_n+1，a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）判斷a_n與n+2的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=a_n²-na_n+1、a₁=3代入計(jì)算即得結(jié)論；
（2）先證明n=1時(shí)不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，進(jìn)而論證n=k+1時(shí)，不等式依然成立，最終得到不等式a_n≥n+2恒成立．

解答 解：（1）依題意，a₂=${{a}_{1}}^{2}-{a}_{1}+1$=3²-3+1=7，
a₃=${{a}_{2}}^{2}-2{a}_{2}+1$=7²-2•7+1=36，
a₄=${{a}_{3}}^{2}-3{a}_{3}+1$=36²-3•36+1=1189；
（2）結(jié)論：a_n≥n+2的關(guān)系．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3=1+2，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即a_k≥k+2，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1
≥（k+2）（k+2-k）+1
=2k+5
≥k+3，
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥（k+1）+2；
由①、②可知：對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．