Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+b，曲線y=f（x）與直線y=ax+1相切于點（1，f（1））．
（1）求a、b的值；
（2）證明：當x＞0時，[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx＞0．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標，解方程可得a，b的值；
（ 2）由（Ⅰ）得，f（x）=e^x-x²，首先證明：當x＞0時，f（x）≥（e-2）x+1．運用導數(shù)和單調性可證；因x＞0，則$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x（當且僅當x=1時等號成立）．再證明：當x＞0時，x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．通過令p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$，求出導數(shù)，判斷單調性，即可得證．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2x．  
由題設得a=f′（1）=e-2，a+1=f（1）=e-1+b．
故a=e-2，b=0．  
（ 2）由（1）得，f（x）=e^x-x²，
下面證明：當x＞0時，f（x）≥（e-2）x+1．
設g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x＞0．
則g′（x）=e^x-2x-（e-2），
設h（x）=g′（x），則h′（x）=e^x-2，
當x∈（0，ln2）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，
當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增．
又h（0）=3-e＞0，h（1）=0，0＜ln2＜1，h（ln2）＜0，
所以?x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
所以當x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0；
當x∈（x₀，1）時，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x₀）和（1，+∞）單調遞增，在（x₀，1）單調遞減，
又g（0）=g（1）=0，所以g（x）=e^x-x²-（e-2）x-1≥0．
因x＞0，則$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x（當且僅當x=1時等號成立）．①，
以下證明：當x＞0時，x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．
令p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$，
則p′（x）=1-$\frac{4（3cosx+1）}{（3+cosx）^{2}}$=$\frac{（cosx-1）（cosx-5）}{（3+cosx）^{2}}$≥0，
（當且僅當x=2kπ，k∈Z時等號成立）．
所以p（x）在（0，+∞）單調遞增，當x＞0時，p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$＞p（0）=0，
即x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．②
由①②得當x＞0時，$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$，
又x（3+cosx）＞0，
故[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx＞0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間，主要考查單調性的運用，同時考查不等式的證明，注意運用構造函數(shù)的方法，屬于中檔題．