Question

18．已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=$\frac{1}{2}$，f（n+1）=$\frac{1}{1+f（n）}$，求|f（n+1）-f（n）|的最大值．

Answer 1

分析 由條件可得f（2），f（3），f（4），f（5），歸納特點(diǎn)，求出n=1，2，3，4，求出|f（n+1）-f（n）|的數(shù)值，總結(jié)變化情況，即可得到最大值．

解答 解：由f（1）=$\frac{1}{2}$，f（n+1）=$\frac{1}{1+f（n）}$，
可得f（2）=$\frac{2}{3}$，f（3）=$\frac{3}{5}$，f（4）=$\frac{5}{8}$，f（5）=$\frac{8}{13}$，…
以后的每一項(xiàng)的分子、分母均為前兩項(xiàng)的和，
則|f（2）-f（1）|=|$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{6}$，|f（3）-f（2）|=$\frac{1}{15}$，
|f（4）-f（3）|=$\frac{1}{40}$，|f（5）-f（4）|=$\frac{1}{104}$，…，顯然分母越來越大，
分子不變，則有最大值為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差的絕對(duì)值的變化，考查數(shù)列的各項(xiàng)的變化特點(diǎn)，屬于中檔題．