Question

17．如圖，平行四邊形OADB的對(duì)角線OD、AB相交于點(diǎn)C，線段BC上有一點(diǎn)M滿足BC=3BM，線段CD上有一點(diǎn)N滿足CD=3CN，設(shè)|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=6，∠AOB=60°．
（1）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示向量$\overrightarrow{MN}$；
（2）求線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知線段的長(zhǎng)度關(guān)系，把向量$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}$用基底$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示，再用向量的減法法則得到$\overrightarrow{MN}$；
（2）由$|MN|=|\overrightarrow{MN}|$，$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}=（\overrightarrow{MN}）^{2}$結(jié)合已知及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求得答案．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$．
∵BC=3BM，CD=3CN，
∴$BM=\frac{1}{3}BC$=$\frac{1}{6}BA$，$CN=\frac{1}{3}CD$，$ON=\frac{4}{3}CD=\frac{2}{3}OD$．
則$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）=\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$，
∴$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\frac{5}{6}\overrightarrow$，
$\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{6}\overrightarrow$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$；
（2）$|MN|=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{（\overrightarrow{MN}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}|\overrightarrow{OA}{|}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\frac{1}{36}|\overrightarrow{OB}{|}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}×{2}^{2}-\frac{1}{6}×2×6×cos60°+\frac{1}{36}×{6}^{2}}$
=$\sqrt{1-1+1}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了平面向量基本定理，屬中檔題．