Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b為常數(shù)）的圖象過原點(diǎn)，且有x=1的切線為y=-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=0，f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，即可求得a，b，c，進(jìn)而得到所求解析式；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解不等式即可得到增區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b為常數(shù)）的圖象過原點(diǎn)，
可得f（0）=0，即有c=0，
又導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
在x=1處的切線為y=-$\frac{1}{2}$，則f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，
即為1+a+b=-$\frac{1}{2}$，3+2a+b=0，
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=0，
即有f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²；
（2）f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-3x，
令導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查二次不等式的解法，屬于中檔題．