Question

16．已知函數(shù)$f（x）=|{x+\frac{a}{x}}|，（{x＞0}），a$為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）根據(jù)實(shí)數(shù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=|x-$\frac{1}{x}$|=x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增，利用f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0可得；
（2）a≤0時(shí)，x=$\sqrt{-a}$時(shí)，函數(shù)取得最小值0；a＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{x}$時(shí)，利用基本不等式求出y=f（x）的最小值為2$\sqrt{a}$．

解答 解：（1）f（x）=|x-$\frac{1}{x}$|=x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∵f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴y=f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）a＜0時(shí)，x=$\sqrt{-a}$時(shí)，函數(shù)取得最小值0；a=0時(shí)函數(shù)無(wú)最小值；
a＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)，y=f（x）的最小值為2$\sqrt{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式，屬于中檔題．