Question

13．已知函數y=f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）利用真數大于0，即可求f（x）的定義域；
（2）利用奇函數的定義，即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）結合對數函數的單調性，即可討論f（x）的單調性．

解答 解：（1）由$\frac{x+1}{x-1}$＞0，可得x＜-1或x＞1，
∴f（x）的定義域是{x|x＜-1或x＞1}；
（2）f（-x）=log_a$\frac{x-1}{x+1}$=-log_a$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數；
（3）$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$．
∴a＞1時，1+$\frac{2}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞減，f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞減；
0＜a＜1時，1+$\frac{2}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞減，f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增．

點評 本題考查函數的定義域、奇偶性、單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．