Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，若橢圓C上的一動點到右焦點的最短距離為$2-\sqrt{2}$，且右焦點到直線$x=\frac{a^2}{c}$的距離等于短半軸的長，已知P（4，0），過P的直線與橢圓交于M、N兩點
（Ⅰ）求橢圓C的方程   
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}a-c=2-\sqrt{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=b\end{array}\right.$，又a²=b²+c²．聯(lián)立解出即可．
（II）由題意知直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=k（x-4）．與橢圓方程聯(lián)立可得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．由于△＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{6}$．設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關系及其數(shù)量積運算可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=22-$\frac{26}{1+2{k}^{2}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}a-c=2-\sqrt{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=b\end{array}\right.$，又a²=b²+c²．
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
故橢圓C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）由題意知直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=k（x-4）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.\end{array}\right.$得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．
$\begin{array}{l}△={（-16{k^2}）^2}-4（2{k^2}+1）（32{k^2}-4）=16-96{k^2}＞0\end{array}$，
∴${k^2}＜\frac{1}{6}$．
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{32{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-4）（x₂-4）=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]=$\frac{12{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{44{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=22-$\frac{26}{1+2{k}^{2}}$，
∵$0≤{k^2}＜\frac{1}{6}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}∈[-4，\frac{5}{2}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．