Question

2．已知實數(shù)a＞0，解關(guān)于x的不等式$\frac{a（x-1）}{x-3}$＞1．

Answer 1

分析 將分式不等式進行化簡，根據(jù)參數(shù)的取值范圍，結(jié)合一元二次不等式進行求解即可．

解答 解：不等式等價為$\frac{a（x-1）}{x-3}$-1=$\frac{ax-a-x+3}{x-3}$=$\frac{（a-1）x+3-a}{x-3}$＞0．
若a=1，則不等式等價為$\frac{2}{x-3}＞0$，則x＞3，
若a≠1，則不等式等價為$\frac{（a-1）（x+\frac{3-a}{a-1}）}{x-3}$=$\frac{（a-1）（x-\frac{a-3}{a-1}）}{x-3}＞0$，
∵$\frac{a-3}{a-1}=\frac{a-1-2}{a-1}=1-\frac{2}{a-1}$，
∴若a＞1，則$\frac{a-3}{a-1}$＜3，此時不等式等價為$\frac{x-\frac{a-3}{a-1}}{x-3}$＞0，不等式的解為x＞3或x＜$\frac{a-3}{a-1}$，
若0＜a＜1，則$\frac{a-3}{a-1}$＞3，此時不等式等價為$\frac{x-\frac{a-3}{a-1}}{x-3}$＜0不等式的解為3＜x＜$\frac{a-3}{a-1}$，
故當a=1時，不等式的解集為（3，+∞），
當a＞1時，不等式的解集為（3，+∞）∪（-∞，$\frac{a-3}{a-1}$），
當0＜a＜1時，不等式的解集為（3，$\frac{a-3}{a-1}$）．

點評 本題主要考查不等式的求出，注意對參數(shù)進行分類討論，綜合性較強，難度較大．