Question

1．隨著學(xué)習(xí)的深入我們發(fā)現(xiàn)很多對(duì)事物的看法已經(jīng)顛覆了我們傳統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，例如直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)并不能說直線是曲線的切線，曲線的切線與曲線的切點(diǎn)也不一定只有一個(gè)．若在曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”．下列方程：①x²-y²=1；②y=x²-|x|，③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 ①x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線，沒有自公切線；
②在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$處的切線都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切線；
③此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，此函數(shù)有自公切線；
④結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．

解答 解：①x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線，沒有自公切線；
②y=x²-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，
在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$處的切線都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切線；
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$，此函數(shù)是周期函數(shù)，
過圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線；
④由于|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$，即x²+2|x|+y²-3=0，圖象如右，結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 正確理解新定義“自公切線”，正確畫出函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．