Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，且BA⊥AC，AC=4，AB=3，二面角B-A₁C₁-B₁的余弦值為$\frac{3}{5}$，E在線段CC₁上運動（含端點），F(xiàn)在線段AB上運動（含端點）．
（1）若E，F(xiàn)運動到C₁E=1，BF=$\frac{3}{4}$時，求證：EF∥平面A₁C₁B；
（2）若E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持$\frac{CE}{AF}$=2，求此種情形下直線EF與平面A₁C₁B所成角的正弦值的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證明EF∥平面A₁C₁B；
（2）若E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持$\frac{CE}{AF}$=2，建立空間坐標(biāo)系，求出對應(yīng)平面的法向量，利用直線和平面所成角的定義轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答 證明：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，且BA⊥AC，AC=4，AB=3，
則B₁A₁⊥A₁C₁，則∠B₁A₁B是二面角B-A₁C₁-B₁的平面角，
∵二面角B-A₁C₁-B₁的余弦值為$\frac{3}{5}$，
∴cos∠B₁A₁B=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{B{A}_{1}}$=$\frac{3}{B{A}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，
則BA₁=5，
則BA₁=$\sqrt{B{{A}_{1}}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
若C₁E=1，BF=$\frac{3}{4}$時，
過E作EM∥BC₁，
∵C₁E=1，CC₁=4，
∴$\frac{{C}_{1}E}{C{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，則$\frac{BM}{BC}$=$\frac{{C}_{1}E}{C{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∵BF=$\frac{3}{4}$，AB=3，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\frac{3}{4}}{3}$=$\frac{1}{4}$，
則$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
則FM∥AC，
則FM∥A₁C₁，F(xiàn)M∥面BA₁C₁，
同理EM∥面BA₁C₁，
∵EM∩MF=M．
∴面EMF∥面BA₁C₁，
∵EF?面EMF，
∴EF∥平面A₁C₁B．
（2）建立以A為原點，以AC，AB，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0）．C（4，0，0），B（0，3，0），A₁（0，0，4）．C₁（4，0，4），B₁（0，3，4），
∵E，F(xiàn)在運動過程中，始終保持$\frac{CE}{AF}$=2，即CE=2AF，
∴設(shè)|AF|=a，則|CE|=2a，
由$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤3}\\{0≤2a≤4}\end{array}\right.$，得0≤a≤2，
則F（0，a，0），E（4，0，2a），
$\overrightarrow{EF}$=（-4，a，-2a），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（4，0，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），
設(shè)平面A₁C₁B的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=4x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=3y-4z=0}\end{array}\right.$，
令y=4，則z=3，x=0，
即$\overrightarrow{n}$=（0，4，3），
設(shè)線EF與平面A₁C₁B所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EF}|}$|=$\frac{2a}{5\sqrt{16+{a}^{2}+4{a}^{2}}}$=$\frac{2a}{5\sqrt{16+5{a}^{2}}}$，
∵0≤a≤2，
∴當(dāng)a=0時，sinθ=0，
當(dāng)0＜a≤2，
則sinθ=$\frac{2a}{5\sqrt{16+5{a}^{2}}}$=$\frac{2}{5\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+5}}$，
∵0＜a≤2，∴$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
即當(dāng)$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$時，即a=2時，sinθ=$\frac{2}{5\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+5}}$取得最大值，此時sinθ=$\frac{2}{5\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+5}}$=$\frac{2}{5\sqrt{4+5}}=\frac{2}{5\sqrt{9}}$=$\frac{2}{15}$，
即0≤sinθ≤$\frac{2}{15}$．
即直線EF與平面A₁C₁B所成角的正弦值的取值范圍是[0，$\frac{2}{15}$]．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，線面角求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，利用定義法或者建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決空間角常用的方法．在求解過程中利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．