Question

4．三棱錐P-ABC，底面是邊長為2的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為PA上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（1）求證：DO∥平面PBC；
（2）求證：BD⊥AC．

Answer 1

分析 （1）連接AO交BC于點E，連接PE，由三角形中心的性質(zhì)可得AO=2OE，從而DO∥PE，得出線面平行；
（2）由平面PBC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，由DO∥PE可得DO⊥平面ABC，故DO⊥AC，由三角形中心性質(zhì)得AC⊥BO，從而AC⊥平面DOB，得出BD⊥AC．

解答 解：（1）連接AO交BC于點E，連接PE，
∵O為正三角形ABC的中心，∴AO=2EO，
又AD=2DP，∴DO∥PE，
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC，
∴DO∥平面PBC．
（2）∵PB=PC，且E為BC中點，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，
由（1）知，DO∥PE，∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC．連接BO，則AC⊥BO，
又DO∩BO=O，DO?平面DOB，BO?平面DOB，
∴AC⊥平面DOB，∵BD?平面DOB，
∴AC⊥BD．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．