Question

3．若函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極限進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：由y=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1=e^x得$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1-e^x=0，
設(shè)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx+1-e^x，則條件等價(jià)為函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
即mx=-$\frac{1}{2}{x^2}$-1+e^x，
當(dāng)x=0時(shí)，方程成立，即x=0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
要使f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則等價(jià)為當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
當(dāng)x≠0時(shí)，方程等價(jià)為m=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$+$\frac{{e}^{x}}{x}$=$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}}{x}$，
設(shè)h（x）=$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}}{x}$，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h′（x）=$\frac{（-x+{e}^{x}）x-（-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}）}{{x}^{2}}$=$\frac{x{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-e^x+1，g′（x）=x（e^x-1），
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，則g′（x）=x（e^x-1）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，e^x＜1，則g′（x）=x（e^x-1）＞0，
綜上當(dāng)x≠0時(shí)，g′（x）＞0，
當(dāng)x=0時(shí)，g′（x）=x（e^x-1）=0，
綜上，g′（x）≥0，即g（x）為增函數(shù)，
∵g（0）=-e⁰+1=1-1=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0，
即當(dāng)x＞0，h′（x）＞0當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0，
則當(dāng)x→0時(shí)h（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}-1+{e}^{x}}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{-x+{e}^{x}}{1}$=$\underset{lim}{x→0}$（-x+e^x）=1，
即當(dāng)x≠0時(shí)，h（x）＞1，
∴要使當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則m＞1，
故答案為：（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法以及構(gòu)造法，利用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求極限是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．