Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^x}-{a^{-x}}}）$，其中$\frac{π}{3}＜θ+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$
（1）寫出f（x）的奇偶性與單調(diào)性（不要求證明）；
（2）若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），求滿足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的實(shí)數(shù)m的取值集合；
（3）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值恒為負(fù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)的解析式，可得f（x）是R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增．
（2）由題意可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有-1＜1-m＜m²-1＜1，由此解得m的范圍．
（3）要使f（x）-4的值恒為負(fù)，只要f（2）-4≤0，即 $\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^2}-{a^{-2}}}）-4=\frac{{{a^2}+1}}{a}-4≤0$，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^x}-{a^{-x}}}）$，
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增．
（2）由f（x）的奇偶性可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
由f（x）的定義域及單調(diào)性可得-1＜1-m＜m²-1＜1．
解不等式組可得 $1＜m＜\sqrt{2}$．
（3）由于f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，要f（x）-4恒負(fù)，
只需f（2）-4≤0，
即$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^2}-{a^{-2}}}）-4=\frac{{{a^2}+1}}{a}-4≤0$
解之得：$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$．
結(jié)合a＞0且a≠1可得：$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．